空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，有人曾说了这样一句话： “有了向量法，一切的立体几何变成了简单的代数运算”，正因为在寻找一些垂直或者平行条件非常难的时候，我们利用向量，避开了这个难题。因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。

一、利用向量知识求距离（点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面） 

任何距离问题最终都是归为点到点的距离，如求点到直线的距离，过点作直线的垂线，垂足为，那么就转化为间的距离；点到面的距离根据定义也是转化成到它射影的距离……距离实质是点到点的距离。而教材9.8距离这一节书详细介绍了相关距离问题，我们知道线到线，线到面，面到面的距离都可以转化成点到面的距离，所以要学好距离，会求距离，重点掌握好点面距离。

（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐标，那么到平面的距离

（2）求两点之间距离，可转化求向量的模。

（3）求点到直线的距离，可在上取一点，令或的最小值求得参数，以确定的位置，则为点到直线的距离。还可以在上任取一点先求，再转化为，则为点到直线的距离。

(4)求两条异面直线之间距离，可设与公垂线段平行的向量，分别是上的任意两点，则之间距离。

由此可见，异面直线和点到面的距离公式是相同的，他们的本质是一样的。

例1：设，求点到平面的距离

解：设平面的法向量，所以

，

，

所以设到平面的距离为，

例2正方体的棱长为1，

求异面直线与间的距离

解：如图建立坐标系，则

，设是直线

与的公垂线，

且

则

，

从两个例题我们可以得出：不管是异面直线还是点到面的距离都是一样的求法，形式上求法向量，变成了求相交直线的公垂线。 

例3： 如图，长方体中，求平面与平面的距离。

解：，同理又，建立直角坐标系，，

,设为平面的法

向量，则

由，

不妨设

由此可以得出：若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，则点到平面的距离，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。

二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小

（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为

（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为。设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。

（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。

例4：在棱长为的正方体中，分别是的中点，

（1）求直线所成角；

（2）求直线与平面所成的角，

（3）求平面与平面所成的角

解：（1）如图建立坐标系，则

，

故所成的角为

（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，，  

故与平面所成角为

由所以平面的法向量为下面求平面的法向量，设，由，，

，所以平面与平面所成的角

由此可以得出：（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为

  （2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为

（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。

例5：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点. 

（Ⅰ）求证：EF平面PAB；

（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小. 

（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), .得，，. 由，得，即，

 同理，又， 所以，EF平面PAB. 

（Ⅱ）解：由，得，即. 

得，，. 

 有，，. 

 设平面AEF的法向量为，

由，

解得.  于是.

 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为. 

 则. 

得. 

所以，AC与平面AEF所成角的大小为. 

点评：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为

例6： 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 

解：如图建立直角坐标系，则

，

所以是平面的一个法向量。设平面的一个法向量

由，

令，

平面与平面所成的二面角的正切值为

点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。

（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。

小结：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。

（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。

三、利用向量知识解决平行与垂直问题

例7：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，,点D是AB的中点，  （I）求证：AC⊥BC1；  （II）求证：A1C //平面CDB1；

解：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）

（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.

（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1. ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；

点评：平行问题的转化：

面面平行线面平行线线平行；

例8．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.

  （1）证明：D1E⊥A1D；

  （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

  （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.

. 解：直三棱柱，两两垂直，以为坐标原点，

直线分别为轴轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，

（1），

（2）假设在上存在点，使得，则

其中，则，于是由于，且

所以得，所以在上存在点使得，且这时点与点重合。

（3）假设在上存在点使得，则其中则，又由于，，所以存在实数成立，所以，所以在上存在点使得，且使的中点。

总结：向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性，教师在教学中认真领会。