题目：设 ，函数

（Ⅰ）若 是函数 的极值点，求 的值

（Ⅱ）若函数 ， ，在 处取得最大值，求 的取值范围

主要是对第（Ⅱ）问进行分析：有关最值问题，一般是已知函数求最值，方法是利用导数讨论函数的单调区间，从而确定极值点，再比较端点和极值点的函数值就可以求出最大（小）值。但这道高考题考的是上面问题的逆问题，即已知最值，求函数（函数中参数的取值范围），所以也要将端点和极值点的函数值进行比较。问题是这道题的极值点比较难求，要用求根公式才能求出，但求出以后要进行讨论，非常复杂，所以这种方法不可取。只要认真思考题目的已知条件和所求，不难发现函数 ， ，在 处取得最大值，那么 在区间 上单调递增是不可能的，否则 在 处不可能取得最大值，所以 在区间 上只能是单调递减或先减后增，只有这两种情况，不管是哪种情况，只要比较端点值即可，于是就有了参考答案的解法。

方法一（参考答案的解法）

由题设得，  

∵ 在区间 上取得最大值

若 ，得0 ，

反之，当 时，

对任意 ， ＝

即对任意 ，都有

在区间 上的最大值是

此时，

这种方法较难想到，因为要求最值，除了比较端点的函数值外还要比较端点之间的极值点的函数值。这道题较特殊，恰好是只要比较端点的函数值就可了，不需再比较端点之间的极值点的函数值，学生想到了这种方法也不敢做。学生一般受课本的影响，大都考虑求导的方法。例如方法二。

方法二：

函数 ， ，在 处取得最大值，那么 在区间 上单调递增是不可能的， 在区间 上只能是单调递减或先减后增，只有这两种情况。于是

　或　

∴ 　或　

∴　

如果从最大值的意义出发，又可有解法三：

方法三：

∵ 　 在 处取得最大值且　 ＝0

∴ ＝ ＝0恒成立　

即　 恒成立

当　 时， ， 显然成立

当 时， 恒成立

设 ＝

当 时， ， 显然成立

当 时， ∵　抛物线必过点

　　　　　　∴　不管其对称轴 在哪里

　　只要满足 　都有 时， 恒成立

此时　

当 时，对称轴 0且抛物线必过点

 

∴对任意 都有 恒成立

综上所述：

如果按照课本介绍的一般方法，要比较端点和端点之间的极值点的函数值求函数的最值，则必需求导讨论函数的单调性从而确定函数的极值点。于是，有方法四，但这种方法较繁。

方法四：    

① 当 时,  

在 处取得最大值,则

② 当 时, 令  此方程有一负根和一正根,即

      

其中,若 时,

          函数 在 处取得极小值,也是最小值,即 ,而 ,因此,g(x)在 处取得最大值,则

 若 时,

         函数g(x)在[0 , 2]上是减函数, 因此,

        所以,当a>0时, g(x)在 处取得最大值,则

③ 当a<0时, 令 此方程有两个不相等的负实根  

 

         函数g(x)在[0 , 2]上是减函数, 因此,

    综上,函数g(x)在 处取得最大值的充要条件是: ,即 .