函数的图象对称性、周期性及奇偶性的关系

广西宝威体育（中国）集团有限公司(535000) 徐鸿光

 

摘要：函数是中学数学的主要内容，本文将阐述函数的图象具有对称性的充要条件以及函数图象的对称性、函数的周期性、函数的奇偶性三者之间的关系。

关键词：函  性质  关系

《普通高等学校招生全国统一考试数学科考试大纲》提出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合，……，在知识网络交汇点设计试题。”函数是支撑数学科知识体系的主要内容，是贯穿中学数学的一条主线，是学习高等数学的基础，因此在每年的高考数学试题中，函数试题占有较高的比例，并达到必要地深度。本文将对函数的图象对称性、周期性及奇偶性的关系作一些探讨。

定理1：函数y=f(x)的图象关于直线 对称的充要条件是f(a-x)=f(b+x)对定义域内的每一个x都成立。

证明：充分性：若f(a-x)=f(b+x)对定义域内的每一个x都成立，设P(x₀，y₀)是y=f(x)的图象上的任一点，则y₀=f(x₀)，点P关于直线 的对称点是Q(a+b-x₀,y₀)，

∵f(a+b-x₀)=f[b+(a-x₀)]=f[a-(a-x₀)]=f(x₀)=y₀，

∴点Q(a+b-x₀,y₀)在函数y=f(x)的图象上，∴y=f(x)的图象关于直线 对称；

必要性：若函数y=f(x)的图象关于直线 对称，设A(x，y)是y=f(x)的图象上的任一点，则y=f(x)，点A关于直线 的对称点为B(a+b-x,y)，∵y=f(x)的图象关于 对称，点B在y=f(x)的图象上，∴f(a+b-x)=y，∴f(a+b-x)=f(x)

∴f(a-x)=f[a+b-(b+x)]=f(b+x)。

特殊地，当a=b=0时，定理1为：函数y=f(x)的图象关于y轴对称的充要条件是f(-x)=f(x)对定义域内的每一个x都成立。这是偶函数的一个性质。

推论1：函数y=f(x)的图象关于直线 对称的充要条件是f(a+b-x)=f(x)对定义域内的每一个x都成立。

推论2：函数y=f(x)的图象关于直线 对称的充要条件是f(a+b+x)=f(-x)对定义域内的每一个x都成立。

定理2：函数y=f(x)的图象关于点( ，0)对称的充要条件是f(a-x)=-f(b+x)对定义域内的每一个x都成立。

证明：充分性：若f(a-x)=-f(b+x)对定义域内的每一个x都成立，设P(x₀，y₀)是y=(x)图象上的任一点，则y₀=f(x₀)，点P关于点( ，0)的对称为Q(a+b-x₀，-y₀)。

∵ f(a+b-x₀)=f[a-(x₀-b)]=-f[b+(x₀-b)]=-f(x₀)=-y₀，

∴点Q(a+b-x₀-y₀)在y=f(x)的图象上，∴y=f(x)的图象关于点( ，0)对称。

必要性：若y=(x)的图象关于点( ，0)对称，该A(x，y)是y=f(x)图象上的任一点，则y=f(x)，点A关于点( ，0)的对称点为B(a+b-x，-y)，∵y=f(x)的图象关于点( ，0)对称，∴点B在y=f(x)的图象上，∴f(a+b-x)=-y，∴f(a+b-x)=-f(x)，

∴f(a-x)=f[a+b-(b+x)] =-f(b+x)。

特殊地，当a=b=0时，定理2为：函数y=f(x)的图象关于原点对称的充要条件是f(-x)=-f(x)对定义域内的每一个x都成立。这是奇函数的一个性质。

推论l：函数y=f(x)的图象关于点( ，0)对称的充分条件是f(a+b-x)=-f(x)对定义域内的每一个x都成立。

推论2：函数y=f(x)的图象关于点( ，0)对称的充要条件是f(a+b+x)=-f(-x)对定义域内的每一个x都成立。

定理3：(1)y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)y=f(x)的图象关于直线x=b(b≠a)对称;(3)y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)为其一个周期。

以其中任两个论断为条件，另-论断为结论，得到的三个命题均是真命题。

若以(1)、(2)为条件，(3)为结论。

证明：∵y=f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称，

∴f(2a-x)=f(x)，f(2b-x)=f(x)，

∴f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x)，

∴y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)是它的一个周期。

若以(1)，(3)为条件，(2)为结论。

证明：∵y=f(x)的图象关于直线x=a对称，∴f(2a-x)=f(x)，又∵y=f(x)是周期函数且2(b-a)是它的一个周期，

∴f[x+2(b-a)]=f(x)，

∴f(2b-x)=f[2a-x+2(b-a)]=f(2a-x)=f(x)，

∴y=f(x)的图象关于直线x=b对称。

同理可证以(2)、(3)为条件，(1)为结论所得的命题的正确性。

推论：(1)y=f(x)是偶函数；(2)y=f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)对称；(3)y=f(x)是周期函数，且T=2a为其一个周期。

以其中任两个论断为条件，另-论断为结论，所得的三个命题均是真命题。

定理4：(1)y=f(x)的图象关于点(a，0)对称；(2)y=f(x)的图象关于点(b, 0)(b≠a)对称;(3)y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)为其一个周期。

以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，所得的三个命题均为真命题。

若以(1)、(2)为条件，(3)为结论。

证明：∵y=f(x)的图象关于点(a，0)与(b，0)对称，

∴f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=-f(x)，

∴f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=-f(2a-x)=f(x)，

∴y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)是它的一个周期。

若以(1)，(3)为条件，(2)为结论。

证明：∵y=f(x)的图象关于点(a，0)对称，∴f(2a-x)=-f(x)，又∵y=f(x)是周期函数且T=2(b-a)是它的一个周期，

∴f[x+2(b-a)]=f(x)，

∴f(2b-x)=f[2a-x+2(b-a)=f(2a-x)=-f(x)，

∴y=f(x)的图象关于点(b，0)对称。

同理可证以(2)、(3)为条件，(1)为结论所得的命题的正确性。

推论：(1)y=f(x)是奇函数；(2)y=f(x)的图象关于点(a，0)(a≠0)对称;(3)y=f(x)是周期函数且T=2a为其一个周期。

以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，所得的三个命题均是真命题。

定理5：若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，且关于点(b，0)(b≠a)对称，则y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)为其一个周期。

证明：∵y=f(x)的图象关于直线x=a对称，且关于点(b，0)对称，

∴f(2a—x)=f(x)，f(2b—x)=-f(x)，

∴f[x+4(b-a)]=f[2b-(4a-2b-x)]=-f(4a-2b-x)

=-f[2a-(2b-2a+x)]=-f(2b-2a+x)=-f[2b-(2a-x)]

=f(2a-x)=f(x)。

∴y=f(x)是周期函数且T=4(b-a)为其一个周期。

推论1：若y=f(x)是偶函数，且其图象关于点(a，0)(a≠0)对称，则y=f(x)是周期函数，且T=4a以为其一个周期。

推论2：若y=f(x)是奇函数，且其图象关于直线x=a(a≠0)对称，则y=f(x)是周期函数，且T=4a为其一个周期。

例1：已知函数f(x)定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式f (2+x)=f(2-x)和f(7+x)=f(7-x)，设x=0是f(x)=0的一个根，记f(x)=0在[-1000，1000]中的根的个数为N，求N的最小值。(1984年第2届美国数学邀请赛试题)

解：依题意，f(x)的图象关于直线x=2和x=7对称，据定理3知f(x)是周期函数，且T=2(7-2)=10为其一个周期，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0，f(10)=f(7+3)=f(7-3)=f(4)=0。

∴f(x)=0在[0，10)上至少有两个根，∴f(x)=0在[-1000，1000]上至少有200×2+1=401个根，故N的最小值为401。

例2：已知y=f(x)是奇函数，且f(3)=50，g(x)=f(x+2)也是奇函数，试求f(2003)的值。

解：∵g(x)=f(x+2)是奇函数，∴其图象关于点(0，0)对称。∴y=f(x)的图象关于点(2，0)对称，据定理4的推论知f(x)是周期函数，且T=4为其一个周期.

参考文献：

1、2002年普通高等学校招生全国统一考试数学科考试说明。

2、中学数学月刊2001．7。