求函数的值域

         广西宝威体育（中国）集团有限公司    洪燕燕

教材：函数的值域

目的：要求学生掌握利用观察法、二次函数、常数分离法、反表示法、、判别式法、换元法求函数的值域。

教学过程：

一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。

    提出课题：函数的值域

二、新授：

1．直接法（观察法）：

例一、求下列函数的值域：1°      2°

解：1°

    ∵     ∴

          即函数 的值域是   

        2°      ∵    

∴

          即函数y = 的值域是 { y| y≥5}

2．二次函数法：

 例二、1°若 为实数，求 的值域

     解：由题设             

当   函数无最大值   

∴函数 y=x²+2x+3的值域是{ y| y≥3}

         2°求函数 的值域

     解：由  

 在此区间内 

∴函数 的值域是

3°求函数 的值域

解：由  

∴函数 的值域是

3．常数分离法

例三、求下列函数的值域：

1°     

解：     ∵     ∴

      即函数 的值域是  

2°   

解：         

, ,即

       即函数 的值域是

3°

解：

        

 

即函数 的值域是

4．反表示法(反解法)

例四、求下列函数的值域：

1°   

解：由 有   

即函数 的值域是 { y| yÎR且y¹1} 

2°

解：由  有   ,,则

即    

即函数 的值域是

以上两题也可用常数分离法.

5．判别式法（△法）

例五、求函数 的值域

     解：去分母得    

         当 时   

          由此得

检验  时  （代入 求根）

∵2Ï定义域     ∴  

再检验 代入 求得    

综上所述，函数 的值域为 { y| y¹1且 y¹ }

也可用常数分离法.

6．换元法

   例六、求函数 的值域

解：设   则 t≥0   x=1-t²

         代入得 y=f (t )=2×(1-t²)+4t=-2t²+4t+2=-2(t-1)²+4

         ∵t≥0    ∴y≤4

 

三、小结：

1．直接法：应注意基本初等函数的值域

2．二次函数法：应特别当心“定义域”

3. 常数分离法: 注意“定义域”

4. 反表示法: 正确反表示出适当的变量

5．△法：须检验

6．换元法：注意“新元”的取值范围

四、练习与作业：

    《优化设计》  中有关值域部分